數(shù)學(xué)作為一種文化系統(tǒng)能陶冶人的美感，提高理性的審美能力，正是這種能力成為人們探索宇宙奧妙和揭示其規(guī)律的重要手段。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是一個非常古老的問題，自古希臘以來，數(shù)學(xué)家們就一直在為數(shù)學(xué)尋找一個堅實可靠的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是人類思維的重要表達(dá)形式，她以高度的抽象化和嚴(yán)密的邏輯推理著稱，標(biāo)志著人類認(rèn)識世界的水平。數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，離開了數(shù)學(xué)，自然科學(xué)就是不結(jié)果實的花，信度和效度都將遭遇嚴(yán)重質(zhì)疑。然而一直以來，作為數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)問題的實在論與反實在論之間的爭論不絕于耳，歷久彌新，直接關(guān)系到數(shù)學(xué)是否具有客觀性、確定性和真理性。

傳統(tǒng)認(rèn)為，數(shù)學(xué)完全是一個純粹理性的事業(yè)。但如果數(shù)學(xué)只是一個心智的發(fā)明物，為什么數(shù)學(xué)在實踐上會有效？如果她被化歸為純粹的邏輯關(guān)系，那么從某種意義上來說，數(shù)學(xué)不過是建立在同義反復(fù)的無足輕重的事情之上。近代英國哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和邏輯學(xué)家密爾（John Stuart Mill）指出：“所有的科學(xué)，包括邏輯和數(shù)學(xué)在內(nèi)，都是有關(guān)時代的函數(shù)——所有科學(xué)連同她的理想和成就統(tǒng)統(tǒng)都是如此。很難給數(shù)學(xué)下一個一勞永逸的定義，因為人們所處的數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史階段不同，有著不同的文化背景、知識范式和視角，對于數(shù)學(xué)的理解也就不盡相同。”

數(shù)—數(shù)學(xué)—數(shù)學(xué)哲學(xué)

什么是數(shù)？羅素認(rèn)為，“在進(jìn)行數(shù)的定義時，首先須將我們研究的第一步辨析明白。許多哲學(xué)嘗試作出數(shù)的定義，實際上卻去定義為許多事物所形成的復(fù)合，這是件完成不相干的事”。譬如，一組3個人是3的實例，3絕不同于張三、李四和王五組成的3個人的組合。“我們可以繼續(xù)定義一般的數(shù)為：由于相似關(guān)系而集合在一起的任一類；第二種是彼此相似而集合在一起的任一類。或者更為簡單的：所謂的數(shù)就是某一個類的數(shù)。”

數(shù)學(xué)是研究事物的量及其具體關(guān)系的規(guī)則；而數(shù)學(xué)哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的一般規(guī)律；哲學(xué)則是研究自然、社會和思維的普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)哲學(xué)作為數(shù)學(xué)與哲學(xué)的交叉學(xué)科，她處于數(shù)學(xué)與哲學(xué)的中間位置。數(shù)學(xué)哲學(xué)研究數(shù)學(xué)的對象、性質(zhì)和方法的本體論、認(rèn)識論和方法論問題，從總體上把握數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的一般規(guī)律。所以，“哲學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)三者之間的關(guān)系是普遍、一般和特殊的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的基礎(chǔ)和根據(jù)。從這個意義上來說，沒有數(shù)學(xué)就沒有數(shù)學(xué)哲學(xué)，或者說，沒有數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的說教”。

數(shù)學(xué)哲學(xué)作為一門獨立的學(xué)科，直到19世紀(jì)中葉才真正建立起來。不少數(shù)學(xué)哲學(xué)的著作花費大量篇幅給數(shù)下定義，希望回答“什么是數(shù)”這個問題。由于數(shù)學(xué)始終在發(fā)展，再加上各種流派、研究方向的不同，各個時期的數(shù)學(xué)家所給出的答案都不一樣。談及數(shù)學(xué)哲學(xué)，言必及古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。

古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)

古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)觀可以粗略地分為畢達(dá)哥拉斯-柏拉圖數(shù)學(xué)哲學(xué)觀及亞里士多德數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。在古希臘數(shù)學(xué)范式的形成過程中，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派起著極其重要的作用，因為他們最早提出了數(shù)學(xué)哲學(xué)思想。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先把數(shù)作為抽象的對象加以研究，畢達(dá)哥拉斯本人在尋找萬物的本質(zhì)時提出了數(shù)本原說：數(shù)不是某種物質(zhì)形態(tài)，數(shù)是永遠(yuǎn)感覺不到的。如果有人伸出5個手指頭說：這不是5嗎？拿出6支筆說：這不是6嗎？那么這些數(shù)字只是我們抽象出來的符號，是表征5的符號，她并不是5本身。萬事萬物都有數(shù)量關(guān)系，但是要從萬事萬物的關(guān)系中抽象出1、2、3、4、5…這些數(shù)字是需要很長時間的。當(dāng)人們能從眾多的事物中抽象出不同的數(shù)的時候，這就是思想的飛躍了。數(shù)量是通過抽象思維把握的，各種自然物質(zhì)都具有數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系只能在思維中才能把握。因此，“萬物皆數(shù)”實際上是一種數(shù)學(xué)實在論觀。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派這種“萬物皆數(shù)”的觀點對后世的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

古希臘的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀被畢達(dá)哥拉斯以一種抽象的語言表達(dá)為數(shù)學(xué)的理念。繼畢達(dá)哥拉斯之后，在古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)觀的形成過程中，發(fā)揮重要作用的人物是柏拉圖。柏拉圖進(jìn)一步把數(shù)的抽象性加以深化，把數(shù)學(xué)作為一種完美的、理想的、絕對的、先驗的知識和真理。柏拉圖認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究的對象是抽象的，但卻是客觀存在的，而且她們不依賴于時間、空間和人的思維而永恒存在。數(shù)學(xué)家提出的概念不是創(chuàng)造，而是對這種客觀存在的描述。

亞里士多德雖然是柏拉圖的學(xué)生，也從柏拉圖那里繼承了許多觀點，但他對現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)之間關(guān)系的探究卻有著不同的看法。亞里士多德認(rèn)為，真正的知識是從感性的經(jīng)驗中通過直觀和抽象而獲得的，這種抽象是不能獨立于人的思維而存在的。他認(rèn)為數(shù)并非屬于理念世界，而是來自現(xiàn)實世界，他在對學(xué)科進(jìn)行分類時，認(rèn)為數(shù)學(xué)是理論科學(xué)。

柏拉圖的大理石雕像

中世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)

唯名論哲學(xué)思想產(chǎn)生于中世紀(jì)，唯名論中比較極端的觀點是認(rèn)為數(shù)只不過是符號，是一種名稱，甚至是一種空氣的波動。這一觀點的主要代表人物是洛色林（Roscelinus）。唯名論者認(rèn)為客觀存在的事物只有具體個別的事物，即這匹馬、那棵樹、張三、李四等，而抽象出來的共相概念只不過是一個記號或標(biāo)記而已。

在中世紀(jì)，英國實驗科學(xué)的先驅(qū)羅杰·培根（Roger Bacon）對數(shù)學(xué)的理解是矛盾的。一方面，他認(rèn)為對數(shù)學(xué)真理的理解是天賦的；另一方面，他認(rèn)為數(shù)學(xué)對象是由感覺的復(fù)合產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)的證明總得有與她相對應(yīng)的經(jīng)驗。

羅杰·培根

近代數(shù)學(xué)哲學(xué)

到了近代，伴隨著科學(xué)革命的步伐，數(shù)學(xué)的價值得到重新確認(rèn)。外國數(shù)學(xué)史家克萊因（M.Kline）指出，在當(dāng)時“數(shù)學(xué)是唯一被大家公認(rèn)的真理體系。數(shù)學(xué)知識是確定無疑的，她給人們在沼澤地上提供了一個穩(wěn)當(dāng)?shù)牧⒆泓c；人們又把尋求真理的努力引向了數(shù)學(xué)”。這促使數(shù)學(xué)研究獲得了重大發(fā)展，也促使人們開始重新進(jìn)行數(shù)的本性的思考。法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒（Rene Descartes）認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門理性演繹科學(xué)，是研究順序和度量的學(xué)科；德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G. W. Leibniz）認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是先驗的和必然的知識。

之后，康德（Immanuel Kant）的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想認(rèn)為，人如何才能掌握數(shù)學(xué)知識呢？從最根本來說，數(shù)學(xué)知識都是先天綜合判斷。首先數(shù)是獨立于感覺經(jīng)驗的，因此數(shù)是先天的；其次數(shù)不能由概念分析得來，因此她又是綜合的，要認(rèn)知數(shù)學(xué)命題，就必須運用感性的兩種先天直觀形式，即時間和空間。因為數(shù)是一個接一個出現(xiàn)的，有先后順序。而空間概念是關(guān)于事物形狀的基本經(jīng)驗。因此，康德認(rèn)為，數(shù)是人為經(jīng)驗總結(jié)創(chuàng)造出來的，人也要靠自己的先天直觀形式才能把握數(shù)學(xué)知識。

到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，集合論悖論的出現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第三次危機(jī)，人們又開始了對數(shù)的本性的重新思考。1890～1940年的這50年，可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展的黃金時期。在這一時期，弗雷格、羅素、布勞威爾和希爾伯特等圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題進(jìn)行了系統(tǒng)和深入的研究，并產(chǎn)生了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)學(xué)派，從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開拓了一個嶄新的時代，其影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了數(shù)學(xué)范圍。特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長期占據(jù)著主導(dǎo)地位。

羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的延展，因此他把數(shù)學(xué)定義為我們不知道她說的是什么，也不知道其為真還是為假。直覺主義者認(rèn)為數(shù)學(xué)獨立于物質(zhì)世界，她是純粹心靈直覺的產(chǎn)物。“形式主義者則把數(shù)學(xué)歸結(jié)為某種形式符號，一種抽去具體內(nèi)容的符號系統(tǒng)，數(shù)學(xué)的真理性就在于符號系統(tǒng)中的無矛盾性。”這三大學(xué)派都不同程度地影響了維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。

結(jié)語

一般而言，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究可分為本體論（ontology）問題和認(rèn)識論（epistemology）問題。數(shù)學(xué)的研究對象是什么，一般是指本體論問題。數(shù)學(xué)對象與科學(xué)對象之間的關(guān)系或者說我們?nèi)绾文苎芯亢驼J(rèn)識數(shù)學(xué)，這些是認(rèn)識論問題。而在弗雷格之后興起的英美分析哲學(xué)產(chǎn)生了所謂的語言哲學(xué)轉(zhuǎn)向，把之前的本體論和認(rèn)識論問題也歸之于語言問題來解釋，認(rèn)為以前把語言當(dāng)成一種工具，而現(xiàn)代哲學(xué)問題最終都是用語言或概念來表達(dá)的，哲學(xué)的混亂也是由語言的不明確所造成的。數(shù)學(xué)哲學(xué)研究數(shù)學(xué)的本體論、認(rèn)識論與意義問題，同時也包括一些其他的相關(guān)問題，如數(shù)學(xué)證明的客觀性問題、數(shù)學(xué)知識的真理性問題、數(shù)學(xué)公理或證明的先天性問題等。

數(shù)學(xué)哲學(xué)主要是指基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)。所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)相似性（similarity）的確認(rèn)。這一認(rèn)識事實上構(gòu)成了新方向上所有工作的共同出發(fā)點。關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗性的斷言顯然正是對傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學(xué)知識不應(yīng)被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡單積累。事實上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的相似性進(jìn)行了論證。如果說數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，并構(gòu)成了整個人類文化的一個有機(jī)組成部分，那么，數(shù)學(xué)的發(fā)展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復(fù)雜過程，而且數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實際利益與其他科學(xué)的認(rèn)識論目標(biāo)所決定的。

在《維特根斯坦與維也納學(xué)派》中，維特根斯坦也討論了“什么是數(shù)”。他認(rèn)為，定義是路標(biāo)，她們指明了通向證實的途徑。定義解釋了符號在命題中的使用，也解釋了命題的意義。定義是一種轉(zhuǎn)換規(guī)則，她說明怎樣從一個命題轉(zhuǎn)換為其他命題。說明一個數(shù)就是去說明多少，而不是說明等量。我們所具有的是一條關(guān)于建構(gòu)一系列記號的法則，而且正是這個法則，使得我們能從對一個數(shù)的符號的說明中得出所有其前面數(shù)的符號，使我們能重建整個系列。“數(shù)是一種形式，數(shù)的表達(dá)是一幅圖畫，她出現(xiàn)在命題中。數(shù)學(xué)的東西在哪里都是相同的，描繪數(shù)的方法就是描畫法，數(shù)在記號中顯示自身。去定義一個數(shù)可能意味著兩種不同的東西。如果認(rèn)為，去定義5，粗略地說來就是去說明一個關(guān)于多個類的類，那么回答肯定是：在這種意義上，5是不可定義的。但是，如果根據(jù)一個定義，算術(shù)的定義，5=3+2。同時，3=2+1，2=1+1，那么5當(dāng)然也是可以被定義的。數(shù)詞是一種與概念完全不同的記號表示法。”

德國著名的數(shù)學(xué)家柯朗（R. Courant）指出，“數(shù)學(xué)哲學(xué)是作為人類智慧的一種結(jié)晶，反映了人們的意念與思考”。拉卡托斯（I.Lakatos）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)哲學(xué)是來自經(jīng)驗的，對數(shù)學(xué)本性的理解離不開對經(jīng)驗和實踐的理解”。

本文摘編自《維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)思想研究》，標(biāo)題和內(nèi)容有調(diào)整。內(nèi)容和標(biāo)題有調(diào)整。科學(xué)創(chuàng)造未來，人文溫暖世界。在科技引領(lǐng)發(fā)展的時代，與您共同關(guān)注科技史、科技哲學(xué)、科技前沿與科學(xué)傳播，關(guān)注人類社會的可持續(xù)發(fā)展。科學(xué)人文在線，創(chuàng)造有價值的閱讀！歡迎關(guān)注、點贊、留言、轉(zhuǎn)發(fā)、參與贈書活動，聯(lián)系郵箱：houjunlin@mail.sciencep.com。

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維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在學(xué)界一直充滿爭議，他的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想分為早、中、晚期，但是他的早期思想與晚期思想是相互對立的；此外，他對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派的批判及對哥德爾不完備性定理的評論，更是褒貶不一。本書系統(tǒng)討論了維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，在早期，他遵循數(shù)學(xué)哲學(xué)的邏輯原子主義；在中期，他提倡數(shù)學(xué)哲學(xué)的可證實性原則；在后期，他主張數(shù)學(xué)是基于人們生活形式的一種實踐活動。

本書適合外國哲學(xué)及科學(xué)哲學(xué)專業(yè)的師生、研究人員及對哲學(xué)感興趣的讀者。