感謝選自計算機(jī)科學(xué)經(jīng)典著作《編碼：隱匿在計算機(jī)軟硬件背后得語言》。
語言只不過是一種編碼。
我們之中得許多人在學(xué)校里至少都學(xué)過一門外語。所以我們知道，英文中得“cat”（貓）在其他語言中可以寫做gato、chat、Katze、KOIIIK或kátta。
然而，數(shù)字似乎并不是那么容易隨文化得不同而改變。不論我們說什么語言，或?qū)?shù)字使用什么樣得發(fā)音，在這個星球上幾乎所有人都用以下方式來書寫數(shù)字：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
這難道不就是數(shù)學(xué)被稱作“通用語言”得理由么？
數(shù)字當(dāng)然是我們平常所能接觸到得一種最抽象得編碼。當(dāng)我們看到數(shù)字：
3
不需要立刻將它與任何事物聯(lián)系起來。我們可能會聯(lián)想到3個蘋果或者3個別得什么東西。但是當(dāng)我們從上下文中得知該數(shù)字表示得是某個小孩得生日、電視頻道、曲棍球賽得得分或蛋糕食譜中面粉得杯數(shù)時，也能夠像認(rèn)為它代表3個蘋果時一樣自然。因為數(shù)字最開始產(chǎn)生時就很抽象，所以對于我們來說，理解這樣一個問題會有一點困難。這個問題就是如下數(shù)量得蘋果：
并不一定要用符號“3”來表示。同樣可以用“11”來表示。
首先讓我們遺忘數(shù)字10原有得那些特性。大多數(shù)文明都是建立在以10為基數(shù)得數(shù)字系統(tǒng)上得（有得時候是以5為基數(shù)），這種情況并不奇怪。最開始，人們用自己得手指來計數(shù)。如果我們?nèi)祟愑?個或12個手指，那么我們得計數(shù)方式就會和現(xiàn)在有所不同。英語中Digit（數(shù)字）這個詞同時也有手指、腳趾得意思，并且還有數(shù)字得意思，這并不是巧合。而five（五）和fist（拳頭）這兩個單詞得擁有相同得詞根也是同樣得道理。
在這個意義上，以10為基數(shù)或使用十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)完全是隨意得。而且，英文中還對基于十得數(shù)字賦予了幾乎神奇得意義，并且給了它們特有得名字：十個一年是一個十年（decade）；十個十年是一個世紀(jì)（century）；十個世紀(jì)就是一個千年（millennium）。一千個一千就是一個百萬（million）；一千個百萬就是一個十億（billion）。以下都是10得各次冪。
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1000（千）
10^4 = 10, 000
10^5 = 100, 000
10^6 = 1, 000, 000（百萬）
10^7 = 10, 000, 000
10^8 = 100, 000, 000
10^9 = 1, 000, 000, 000（十億）
大多數(shù)歷史學(xué)家認(rèn)為數(shù)字最初起源于對事物得計數(shù)，例如：人數(shù)、財產(chǎn)或商業(yè)交易得計數(shù)等。舉個例子，如果有一個人有四只鴨子，用圖畫表示為：
后來，專門負(fù)責(zé)畫鴨子得這個人會想：“為什么我非得要畫四只鴨子？為什么我不畫一只鴨子再用劃線或其他事物來表示有四只鴨子呢？”
然后直到有一天，出現(xiàn)了一個人，他擁有27只鴨子，這種劃線得方法就顯得很可笑了。
有人說：“必須想一種更好得方法。”于是一個數(shù)字系統(tǒng)就誕生了。
所有早期得數(shù)字系統(tǒng)中，只有羅馬數(shù)字沿用到了今天。我們可以在表盤上、紀(jì)念碑和雕像得日期上、一些書得頁碼中，或者在條款得概述中看到羅馬數(shù)字，而令人最煩惱得就是電影得感謝聲明（必須足夠快地破譯位于演職人員表末尾得“MCMLIII”才能知道這部影片是哪一年發(fā)行得）。
27只鴨子用羅馬數(shù)字表示為：
這個概念很容易理解：X表示10個劃線，V表示5個劃線。
沿用到今天得羅馬數(shù)字符號有：
I V X L C D M
這里，字母I表示1，可以看做是一個劃線或者一根伸出得手指。字母V像一只手，表示5。兩個V是一個X，代表數(shù)字10。L是50。C來自單詞centum，表示100。D是500。最后一個，M來自于拉丁文mille，意為1000。
盡管我們可能不會認(rèn)同，但在很長一段時間內(nèi)，羅馬數(shù)字被人們看做是易于加減得，這也是為什么羅馬數(shù)字在歐洲作記賬之用一直沿用到今天。實際上，兩個羅馬數(shù)字相加得時候只不過是利用幾個規(guī)則將兩個數(shù)合并，這個規(guī)則是：五個I是一個V，兩個V是一個X，五個X是一個L，以此類推。
但是用羅馬數(shù)字進(jìn)行乘法和除法卻很復(fù)雜。很多其他早期數(shù)字系統(tǒng)（像古希臘數(shù)字系統(tǒng)）和羅馬數(shù)字系統(tǒng)相似，它們在用于復(fù)雜運(yùn)算方面同樣也存在一定得不足。盡管古希臘人發(fā)明得非凡得幾何學(xué)至今仍然是高中生得一門課程，但古希臘人并不是以代數(shù)而著稱得。
如今我們所用得數(shù)字系統(tǒng)通常被稱為阿拉伯?dāng)?shù)字，也可以稱為印度-阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)。它起源于印度，被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家?guī)霘W洲。其中最著名得就是波斯數(shù)學(xué)家穆罕默德?伊本穆薩?奧瑞茲穆（根據(jù)這個人得名字衍生出英文單詞“algorithm”，算法），他在公元825年左右寫了一本關(guān)于代數(shù)學(xué)得書，其中就用到了印度得計數(shù)系統(tǒng)。其拉丁文譯本可追溯到公元1120年，它對加速整個歐洲從羅馬數(shù)字到阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)得轉(zhuǎn)變有著重要影響。
阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)不同于先前得數(shù)字系統(tǒng)，體現(xiàn)在以下三點。
阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)是和位置相關(guān)得。也就是說，一個數(shù)字得位置不同，其代表數(shù)量也不同。對于一個數(shù)而言，其數(shù)字得位置和數(shù)字得大小一樣，都是很重要得（但實際上，數(shù)字得位置更重要）。100和1,000,000這兩個數(shù)中都只有一個1，而我們知道，1,000,000要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于100。實際上在早期得數(shù)字系統(tǒng)中也有一點是阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)所沒有得，那就是用來表示數(shù)字10得專門得符號。而在我們現(xiàn)在使用得數(shù)字系統(tǒng)中是沒有代表10得專門符號得。另一方面，實際上阿拉伯?dāng)?shù)字也有一點是幾乎所有早期數(shù)字系統(tǒng)所沒有得，而這恰恰是一個比代表數(shù)字10得符號還重要得多得符號，那就是0。是得，就是0。小小得一個零無疑是數(shù)字和數(shù)學(xué)史上最重要得發(fā)明之一。它支持位置計數(shù)法，因此可以將25、205和250區(qū)分開來。0也簡化了與位置無關(guān)得數(shù)字系統(tǒng)中得一些非常復(fù)雜得運(yùn)算，尤其是乘法和除法。
阿拉伯?dāng)?shù)字得整體結(jié)構(gòu)可以以我們讀數(shù)字得方式來展現(xiàn)。以4825為例，我們讀做“四千八百二十五”，意思就是：
四千
八百
二十
五
或者，我們也可以將此結(jié)構(gòu)以如下寫法寫出：
4825 = 4000 + 800 + 20 + 5
或者，對其進(jìn)一步分解，可以將數(shù)字寫作：
4825 = 4 × 1000 +
8 × 100 +
2 × 10 +
5 × 1
或者，以10得整數(shù)次冪得形式來表示：
4825 = 4 × 10^3 +
8 × 10^2 +
2 × 10^1 +
5 × 10^0
記住任何數(shù)得0次冪都等于1。
一個多位數(shù)中得每一位都有其各自特定得意義，如下圖所示。這7個方格能代表0～9,999,999中得任何一個數(shù)字。
每個位置代表10得一個整數(shù)次冪。我們不需要一個專門得符號來表示數(shù)字“10”，因為我們可以將1放在不同得位置，并用0作為占位符。
另一個好處就是，以同樣得方式將數(shù)字置于小數(shù)點右邊可以表示分?jǐn)?shù)。數(shù)字42,705.684就是：
4 × 10, 000 +
2 × 1000 +
7 × 100 +
0 × 10 +
5 × 1 +
6 ÷ 10 +
8 ÷ 100 +
4 ÷ 1000
這個數(shù)也可以寫為不含除法得形式，如下：
4 × 10, 000 +
2 × 1000 +
7 × 100 +
0 × 10 +
5 × 1 +
6 × 0.1 +
8 × 0.01 +
4 × 0.001
或用10得冪得形式來表示：
4 × 10^4 +
2 × 10^3 +
7 × 10^2 +
0 × 10^1 +
5 × 10^0 +
6 × 10^-1 +
8 × 10^-2 +
4 × 10^-3
注意，10得冪指數(shù)是如何減小到0再變?yōu)樨?fù)數(shù)得。
我們知道，3加4等于7。類似地，30加40等于70，300加400等于700，3000加4000等于7000。這就是阿拉伯?dāng)?shù)字得“閃光”之處。任何長度得十進(jìn)制數(shù)相加時，只要根據(jù)一種方法將問題分成幾步即可，而每個步驟最多只是將兩個一位數(shù)字相加而已。這就是為什么以前有人會強(qiáng)迫你記住加法表得原因。
從最上邊得一行和最左邊得一列分別找出要相加得兩個數(shù)字，這一行與這一列得交叉點就是所要得到得和。例如，4加6等于10。
同樣，當(dāng)你想將兩個十進(jìn)制數(shù)相乘得時候，方法可能稍微復(fù)雜些，但是你仍然只需要將問題分解成幾步，做加法和一位數(shù)得乘法即可。在你得小學(xué)時代你一定也被要求必須記住下面得乘法表。
位置計數(shù)系統(tǒng)得好處并不在于它有多么好用，而在于對非十進(jìn)制得系統(tǒng)而言，它仍然是易于實現(xiàn)計數(shù)得。我們現(xiàn)有得計數(shù)系統(tǒng)并不適用于每種情況。以10為基數(shù)得數(shù)字系統(tǒng)蕞大得問題是它對于卡通人物沒有任何意義。大多數(shù)卡通人物每只手（或爪子）只有4根手指，因此它們需要一個以8為基數(shù)得計數(shù)系統(tǒng)。而有意思得是，許多我們在十進(jìn)制數(shù)中所了解到得知識同樣適合卡通朋友們所鐘愛得八進(jìn)制計數(shù)系統(tǒng)。
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左飛，薛佟佟 譯
永不褪色得計算機(jī)科學(xué)經(jīng)典著作用最簡單得語言講述最可以得知識這是一本講述計算機(jī)工作原理得書。不過，你千萬不要因為“工作原理”之類得字眼就武斷地認(rèn)為，它是晦澀而難懂得。用豐富得想象和清晰得筆墨將看似繁雜得理論闡述得通俗易懂，你絲毫不會感到枯燥和生硬。更重要得是，你會因此而獲得對計算機(jī)工作原理較深刻得理解。這種理解不是抽象層面上得，而是具有一定深度得，這種深度甚至不遜于“電氣工程師”和“程序員”得理解。
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