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      看似簡單的幾何題求面積_其實有點難

      放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2023-01-05 23:05:17    作者:葉樂瑤    瀏覽次數(shù):93
      導讀

      這是頭條網(wǎng)友發(fā)給我得幾何題,說是五年級得題目,看了一下,小學生應該做不出來。題目:邊長為4得正方形里面有個內接圓,用正方形邊長為半徑以正方形得兩個相對頂點為圓心作兩個扇形,求扇形圓弧與內接圓圍成得面積

      這是頭條網(wǎng)友發(fā)給我得幾何題,說是五年級得題目,看了一下,小學生應該做不出來。

      題目:邊長為4得正方形里面有個內接圓,用正方形邊長為半徑以正方形得兩個相對頂點為圓心作兩個扇形,求扇形圓弧與內接圓圍成得面積。

      幾何題

      解題分析:題目看起來簡單,其實很不好做。如果所求扇形得角度不是特殊角,只能用反三角函數(shù)來表示角度。

      我們可以作幫助線,畫出圖形,找到解題思路,計算一下角度。

      作幫助線

      解題思路:一個月牙陰影得面積與三個圖形得面積有關。一個月牙陰影得面積=凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積。

      思路有了,我們現(xiàn)在來計算。看△AOH,AH=4,AO=2√2,OH=2,知道三角形三邊得長,可以用余弦定理求出三角形得角度。

      OH2=AH2+AO2-2AH×AOcos∠OAH,

      4=16+8-16√2cos∠OAH,

      16√2cos∠OAH=20,

      cos∠OAH=5√2/8,

      ∠OAH=arccos(5√2/8),

      ∠FAH=2arccos(5√2/8)。

      為了求另一個扇形面積,我們還要求△AOH得另一個角∠AOH,然后求∠FOH。

      AH2=AO2+OH2-2AO×OHcos∠AOH,

      16=8+4-8√2cos∠AOH,

      2√2cos∠AOH=-1,

      cos∠AOH=-√2/4,

      ∠AOH=arccos(-√2/4),

      ∠COH=π-∠AOH=π-arccos(-√2/4),

      ∠FOH=2∠COH=2π-2arccos(-√2/4)。

      角度算出來了,兩個扇形得面積就可以算出來了。

      扇形AFH面積=(∠FAH/(2π))×π×42

      =8×2arccos(5√2/8)=16arccos(5√2/8)。

      扇形OFH面積=(∠FOH/(2π))×π×22

      =2(2π-2arccos(-√2/4))

      =4π-4arccos(-√2/4)。

      凹四邊形AFOH面積等于兩個△AOH得面積。我們可以用海倫公式S△=√(p(p-a)(p-b)(p-c))求三角形得面積。

      凹四邊形AFOH面積=2S△AOH

      =2√((3+√2)(√2-1)(√2+1)(3-√2))

      =2√(7×1)=2√7。

      一個月牙陰影得面積

      =凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積

      =2√7+4π-4arccos(-√2/4)-16arccos(5√2/8)。

      兩個月牙陰影得面積乘2即可。

       
      (文/葉樂瑤)
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