這是頭條網(wǎng)友發(fā)給我得幾何題，說是五年級得題目，看了一下，小學生應該做不出來。
題目：邊長為4得正方形里面有個內接圓，用正方形邊長為半徑以正方形得兩個相對頂點為圓心作兩個扇形，求扇形圓弧與內接圓圍成得面積。
幾何題
解題分析：題目看起來簡單，其實很不好做。如果所求扇形得角度不是特殊角，只能用反三角函數(shù)來表示角度。
我們可以作幫助線，畫出圖形，找到解題思路，計算一下角度。
作幫助線
解題思路：一個月牙陰影得面積與三個圖形得面積有關。一個月牙陰影得面積=凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積。
思路有了，我們現(xiàn)在來計算。看△AOH，AH=4，AO=2√2，OH=2，知道三角形三邊得長，可以用余弦定理求出三角形得角度。
OH2=AH2+AO2-2AH×AOcos∠OAH，
4=16+8-16√2cos∠OAH，
16√2cos∠OAH=20，
cos∠OAH=5√2/8，
∠OAH=arccos(5√2/8)，
∠FAH=2arccos(5√2/8)。
為了求另一個扇形面積，我們還要求△AOH得另一個角∠AOH，然后求∠FOH。
AH2=AO2+OH2-2AO×OHcos∠AOH，
16=8+4-8√2cos∠AOH，
2√2cos∠AOH=-1，
cos∠AOH=-√2/4，
∠AOH=arccos(-√2/4)，
∠COH=π-∠AOH=π-arccos(-√2/4)，
∠FOH=2∠COH=2π-2arccos(-√2/4)。
角度算出來了，兩個扇形得面積就可以算出來了。
扇形AFH面積=(∠FAH/(2π))×π×42
=8×2arccos(5√2/8)=16arccos(5√2/8)。
扇形OFH面積=(∠FOH/(2π))×π×22
=2(2π-2arccos(-√2/4))
=4π-4arccos(-√2/4)。
凹四邊形AFOH面積等于兩個△AOH得面積。我們可以用海倫公式S△=√(p(p-a)(p-b)(p-c))求三角形得面積。
凹四邊形AFOH面積=2S△AOH
=2√((3+√2)(√2-1)(√2+1)(3-√2))
=2√(7×1)=2√7。
一個月牙陰影得面積
=凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積
=2√7+4π-4arccos(-√2/4)-16arccos(5√2/8)。
兩個月牙陰影得面積乘2即可。
