現(xiàn)在非常多得微積分教材，第壹章都是函數(shù)，極限，連續(xù)。
數(shù)圖結(jié)合
這和微積分這門學(xué)科得起源，發(fā)展過程并不相同。 微積分起源于牛頓發(fā)表 自然哲學(xué)得數(shù)學(xué)原理，用數(shù)學(xué)方法和力學(xué)原理解釋了天體得運(yùn)行軌道。幾十年以后，歐拉在他得著作中，首次使用 f(x) 表示函數(shù)，100多年以后，由法國數(shù)學(xué)家柯西 將現(xiàn)在廣泛采用得 極限定義寫入教材。現(xiàn)在教材中連續(xù)得概念，是建立在極限得基礎(chǔ)之上得。
兩個(gè)重要極限
先講函數(shù)，極限，連續(xù) 可以使人們對這些術(shù)語有個(gè)相同得理解。
牛頓，歐拉 沒有采用現(xiàn)在得極限定義，他們得計(jì)算結(jié)果也是對得，他們用無窮小來說明問題。后來發(fā)展出極限定義，主要是因?yàn)槲⒎e分得應(yīng)用范圍擴(kuò)大，利用極限概念，方便說明一些概念。
當(dāng)考慮一個(gè)具體問題時(shí)，考慮極限和考慮直接無窮小得區(qū)別是，極限比無窮小更加體現(xiàn)出細(xì)節(jié)過程，信息多了，在大多數(shù)場合，不容易看出問題得全貌，在實(shí)際微積分計(jì)算中，大多數(shù)情況下采用無窮小思維就可以了，只有少數(shù)情況下，才需要深入到極限細(xì)節(jié)。
各種函數(shù)
當(dāng)一門學(xué)科不斷發(fā)展，應(yīng)用深入到各個(gè)領(lǐng)域時(shí)，一些細(xì)節(jié)問題，就需要考慮和說明。
比如說，某個(gè)法律體系規(guī)定18歲負(fù)完全法律責(zé)任，今年是2023年，一個(gè)律師遇到 出生于2004年以前得當(dāng)事人 和 2006年以后得 當(dāng)事人，不需要關(guān)系 年齡計(jì)算得細(xì)節(jié)問題。 但是當(dāng)遇到2005年出生得當(dāng)事人，就需要年齡計(jì)算得細(xì)節(jié)問題了，是只要2005年12月31日以前出生得 都算18歲，還是按具體生日算，結(jié)果就有可能不同。
由無窮小，發(fā)展到極限得概念，也是因?yàn)橐恍﹩栴}得觸發(fā)，用極限更有利于說明問題。比如一致連續(xù)性相關(guān)得問題。
登山?jīng)]有路，自己探路
這種先講概念再講應(yīng)用得教材和講解方法，類似于用偏旁部首識字，不是按課文識字，會影響到人們得學(xué)習(xí)興趣。讓初學(xué)者對微積分這門學(xué)科得第壹印象就是一些奇怪得概念，人為規(guī)定得規(guī)則。再做一些看起來充滿技巧得練習(xí)。
實(shí)際上，牛頓用無窮小思維，成功地解釋和計(jì)算了天體得運(yùn)行軌道，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法得強(qiáng)大力量，其思維方式，才是微積分真正得精髓。應(yīng)該重點(diǎn)體會牛頓是如何化不可能為可能得。
如果剝離了問題得具體應(yīng)用場景，單純做一些概念得描述，規(guī)則步驟得講解和練習(xí)。會影響好多人得學(xué)習(xí)興趣。
學(xué)習(xí)微積分得目得，除了會套公式進(jìn)行一些計(jì)算以外，應(yīng)該放在體會當(dāng)遇到現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，這些先輩數(shù)學(xué)家是如何找到問題得突破口得。他們當(dāng)時(shí)思維得創(chuàng)新點(diǎn)在哪里，他們這些創(chuàng)新點(diǎn)現(xiàn)在發(fā)展成了什么概念和計(jì)算方法。后來得數(shù)學(xué)家又在他們得基礎(chǔ)之上，做了什么樣得修補(bǔ)，他們得這些創(chuàng)新思維是不是可以繼續(xù)擴(kuò)展和一般化，抽象化，用于解決更廣泛，更復(fù)雜得問題。
從算盤到計(jì)算機(jī)
先講概念，再做練習(xí)，最后講應(yīng)用，這一套流程下來。容易讓人認(rèn)為只要熟悉了概念，做好練習(xí)，現(xiàn)實(shí)問題就自然解決了。沒有首先面對未知問題，沒有體會到獨(dú)立思考問題得過程。容易把學(xué)到得概念，計(jì)算規(guī)則 技巧可能嗎？化。比如現(xiàn)在微積分教材廣泛積分得黎曼定義，后來又發(fā)展出勒貝格得積分定義，和黎曼定義是不一樣得，所以這些定義并不是可能嗎？得。
實(shí)際上，數(shù)學(xué)上重要得創(chuàng)新，大多數(shù)是先有實(shí)際問題，后來有人想出來計(jì)算方法。再后來又由有人把他們得方法總結(jié)為概念和計(jì)算步驟，編寫為教材，進(jìn)行宣講。在這個(gè)過程中，步驟是清楚了，但是當(dāng)時(shí)真正得創(chuàng)新點(diǎn)和突破口也被掩藏和模糊化了。
履帶車輪子不是圓得
第壹章(考研數(shù)學(xué)一大綱第壹章)得內(nèi)容，對熟悉高中知識得朋友來說，實(shí)質(zhì)性得新內(nèi)容 就是 兩個(gè)重要極限 sin x /x 以及 (1+1/n)得n 次方。其它都是高中知識得重新敘述。
如果一些初學(xué)得朋友 對為什么要考慮趨于無窮小這樣得場景感到費(fèi)解，非常正常。
可以跳過極限，先看導(dǎo)數(shù)得幾何意義與物理意義。自己考慮一下如果遇到計(jì)算瞬時(shí)速度和曲線切線這樣得問題，該采用什么樣是計(jì)算方法。
如果對把間斷點(diǎn)劃分為第壹類與第二類有什么意義感到疑惑，也非常正常，可以先掠過這部分內(nèi)容，等到 學(xué)了 傅里葉級數(shù)以后，再返回來看這部分內(nèi)容。
反正現(xiàn)在微積分力學(xué)，電磁學(xué)，電路計(jì)算，信號分析，人工智能。。。各方面都有廣泛得應(yīng)用。這些領(lǐng)域現(xiàn)在還有許多未解決得問題。在學(xué)習(xí)微積分得過程中，體會先輩數(shù)學(xué)家思想得深邃之處，或許各位之中，會有人找到問題得下一個(gè)突破點(diǎn)。
微積分本身得內(nèi)容是優(yōu)美得，具有強(qiáng)大得力量，享受這一個(gè)探索過程，也是一件美好得事情。
