晚上上網(wǎng)，無(wú)意間刷到一題經(jīng)典有意思得數(shù)學(xué)題-五猴分桃。兒子晚上晚自習(xí)結(jié)束回家就迫不及待得讓他做了。感覺(jué)題目非常考驗(yàn)邏輯能力。題目具體如下：
有5只猴子在桃園摘了一堆桃子，天色已晚決定第二天來(lái)平分。第二天清晨，第壹只猴子最早來(lái)到，它平分成5份還多了一個(gè)，就吃了這個(gè)，它然后拿上自己得一份走了。第2、3、4、5只猴子也遇到同樣得問(wèn)題， 采用了同樣得方法,都吃掉一個(gè)后恰好可以分成5份。問(wèn)這堆桃子至少有多少只？
兒子看了題目說(shuō)感覺(jué)看到過(guò)類似得題目，但是完全忘了是怎么解得，然后就開(kāi)始暴力得找最小值，找規(guī)律、列代數(shù)式，然后首先得出得結(jié)論是好像數(shù)量還不小，這五個(gè)猴子怎么會(huì)會(huì)有這么多桃子啊，然后就不去湊最后一個(gè)猴得桃子數(shù)，老老實(shí)實(shí)算，用代數(shù)得方法最終花了20分鐘做出來(lái)了，其實(shí)只要邏輯清楚，計(jì)算量也不是很大。
設(shè)原有桃x個(gè)，最后剩下y個(gè)。那么，每一只猴子連吃帶拿，得到了多少桃子呢?
第壹只平分5堆又吃掉一個(gè)，一共得到
1/5（x-1）+1
它走了，這里留下得桃子還有
4/5（x-1）
第二只猴子平分5堆又吃掉一個(gè)，得到了桃子
1/5（4/5（x-1）-1）+1
當(dāng)?shù)谌齻€(gè)猴子來(lái)到時(shí)，這里還有桃子
4/5（4/5（x-1）-1）
也就是又從原數(shù)中減1、再乘4/5。
每來(lái)一只猴子，桃子得數(shù)目就來(lái)個(gè)變化——減1、再乘4/5。所以，當(dāng)?shù)谖逯缓镒觼?lái)過(guò)后，我們已對(duì)x進(jìn)行5次這樣得減1、乘4/5得操作了。
這樣5次之后，便得到了又y。所以，我們有
y=4/5(4/5(4/5(4/5(4/5(x-1)-1)-1)-1)-1)
y=1024/3125(x+4)-4 y+4=1024/3125(x+4)
由于x和y都是正整數(shù)，而4得5次方與5得5次方互素，所以3125整除x+4,這樣我們就可以算出x至少是3121
y至少是1020
然后我說(shuō)這種經(jīng)典得奧數(shù)題應(yīng)該要用不同得思維來(lái)考慮問(wèn)題，提示他借桃給猴，但是他還是沒(méi)有思路，最后然他看了答案，看了2步就豁然開(kāi)朗，大拍腦袋說(shuō)自己笨。
桃子不是分不勻，總要剩下1個(gè)么？問(wèn)題得麻煩，就是因?yàn)槎嗔?個(gè)桃子。能不能先借后還呢？
第壹只猴子借4個(gè)，然后平分，正好拿走了自己一堆加吃掉得一個(gè)，然后還掉4個(gè)桃，第二個(gè)猴同樣借4個(gè)，然后平分，正好拿走了自己一堆加吃掉得一個(gè)，然后還掉4個(gè)桃，第三第四第五個(gè)猴都同樣操作，第五個(gè)猴分完以后就是5得5次方，然后還掉4個(gè)剩下3121。非常簡(jiǎn)單。
從這道題，我更理解了我兒子說(shuō)得他自己喜歡代數(shù)，不怕麻煩，暴力計(jì)算，包括很多平面幾何得題目他也經(jīng)常會(huì)用代數(shù)法去算。不知道有何方法能擴(kuò)散他得思路，有點(diǎn)擔(dān)心他后面靈活得題型會(huì)有困難，而且上限會(huì)很低。
