企鵝號(hào) 車(chē)達(dá)令
本文首先研究和分析有限元網(wǎng)格劃分的基本原則，再對(duì)當(dāng)前典型網(wǎng)格劃分方法進(jìn)行科學(xué)地分類(lèi)，結(jié)合實(shí)例系統(tǒng)地分析各種網(wǎng)格劃分方法的機(jī)理、特點(diǎn)及其適用范圍，如映射法、基于柵格法、節(jié)點(diǎn)連元法、拓?fù)浞纸夥ā缀畏纸夥ê蛼呙璺ǖ取＾┖箨U述當(dāng)前網(wǎng)格劃分的研究熱點(diǎn)，綜述六面體網(wǎng)格和曲面網(wǎng)格劃分技術(shù)，展望有限元網(wǎng)格劃分的發(fā)展趨勢(shì)。
引 言
有限元網(wǎng)格劃分是進(jìn)行有限元數(shù)值模擬分析至關(guān)重要的一步，它直接影響著后續(xù)數(shù)值計(jì)算分析結(jié)果的精確性。網(wǎng)格劃分涉及單元的形狀及其拓?fù)漕?lèi)型、單元類(lèi)型、網(wǎng)格生成器的選擇、網(wǎng)格的密度、單元的編號(hào)以及幾何體素，在有限元數(shù)值求解中，單元的等效節(jié)點(diǎn)力、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等均用數(shù)值積分生成，連續(xù)體單元以及殼、板、梁?jiǎn)卧拿鎯?nèi)均采用高斯 (Gauss) 積分，而殼、板、梁?jiǎn)卧暮穸确较虿捎眯疗丈?(Simpson) 積分。
有限元網(wǎng)格劃分基本原則
有限元方法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，即對(duì)連續(xù)體進(jìn)行離散化，利用簡(jiǎn)化幾何單元來(lái)近似逼近連續(xù)體，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。所以有限元網(wǎng)格的劃分一方面要考慮對(duì)各物體幾何形狀的準(zhǔn)確描述，另一方面也要考慮變形梯度的準(zhǔn)確描述。為正確、合理地建立有限元模型，這里介紹劃分網(wǎng)格時(shí)應(yīng)考慮的一些基本原則。
1. 網(wǎng)格數(shù)量
網(wǎng)格數(shù)量直接影響計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)耗，網(wǎng)格數(shù)量增加會(huì)提高計(jì)算精度，但同時(shí)計(jì)算時(shí)耗也會(huì)增加。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí)增加網(wǎng)格，計(jì)算精度可明顯提高，但計(jì)算時(shí)耗不會(huì)有明顯增加；當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量增加到一定程度后，再繼續(xù)增加網(wǎng)格時(shí)精度提高就很小，而計(jì)算時(shí)耗卻大幅度增加。所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時(shí)應(yīng)權(quán)衡這兩個(gè)因素綜合考慮。
2. 網(wǎng)格密度
為了適應(yīng)應(yīng)力等計(jì)算數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)不同部位需要采用大小不同的網(wǎng)格。在孔的附近有集中應(yīng)力，因此網(wǎng)格需要加密；周邊應(yīng)力梯度相對(duì)較小，網(wǎng)格劃分較稀。由此反映了疏密不同的網(wǎng)格劃分原則：在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較大的部位，為了較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，需要采用比較密集的網(wǎng)格；而在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較小的部位，為減小模型規(guī)模，網(wǎng)格則應(yīng)相對(duì)稀疏。
3. 單元階次
單元階次與有限元的計(jì)算精度有著密切的關(guān)聯(lián)，單元一般具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱(chēng)為高階單元。高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構(gòu)的曲線和曲面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復(fù)雜場(chǎng)函數(shù)，所以增加單元階次可提高計(jì)算精度。但增加單元階次的同時(shí)網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)也會(huì)隨之增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對(duì)較大，因此在使用時(shí)應(yīng)權(quán)衡考慮計(jì)算精度和時(shí)耗。
4. 單元形狀
網(wǎng)格單元形狀的好壞對(duì)計(jì)算精度有著很大的影響，單元形狀太差的網(wǎng)格甚至?xí)兄褂?jì)算。單元形狀評(píng)價(jià)一般有以下幾個(gè)指標(biāo)：
5. 單元協(xié)調(diào)性
單元協(xié)調(diào)是指單元上的力和力矩能夠通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞給相鄰單元，為保證單元協(xié)調(diào)，必須滿足的條件是：
網(wǎng)格生成通用方法
有限元網(wǎng)格劃分方法難以準(zhǔn)確分類(lèi)，分類(lèi)方法有很多，可以按產(chǎn)生的單元類(lèi)型、生成單元的維數(shù)、自動(dòng)化程度等進(jìn)行分類(lèi)。
1. 映射法
映射法的基本思想是實(shí)際圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的雙向映射，具體有三個(gè)步驟：
這種網(wǎng)格控制機(jī)理有以下幾個(gè)缺點(diǎn)：
2. 基于柵格法
基于柵格法也叫空間分解法。該算法的基本流程是：
3. 節(jié)點(diǎn)連元法
節(jié)點(diǎn)連元法一般分為兩步：
4. 拓?fù)浞纸夥?/span>
拓?fù)浞纸夥ㄊ紫仁怯捎?guó)劍橋大學(xué)的Wordenwaber 提出來(lái)的。拓?fù)浞纸夥ㄊ菑男误w的拓?fù)湟蛩刂诌M(jìn)行分割，而不過(guò)問(wèn)元素的具體形狀。首先，假設(shè)網(wǎng)格頂點(diǎn)全部由目標(biāo)邊界頂點(diǎn)組成，那么可以用一種三角化算法將目標(biāo)用盡量少的三角形完全分割覆蓋。
5. 幾何分解法
幾何分解法蕞大的特點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)和單元同步生成。該方法較多地考慮了待分域的幾何特征，確保生成質(zhì)量較好的網(wǎng)格單元。
6. 掃描法
掃描法是將離散化的基本單元形體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、掃描、拉伸等操作，獲得高維網(wǎng)格的一種方法。這種方法難度較低，容易實(shí)現(xiàn)，在當(dāng)今大多數(shù)商用CAD軟件和有限元前置處理軟件中均有這種功能。但是這種方法只適合于形狀簡(jiǎn)單的三維物體，且主要靠人機(jī)交互來(lái)實(shí)現(xiàn)，自動(dòng)化程度低。
研究熱點(diǎn)
近年來(lái)，有限元分析在各種工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，網(wǎng)格劃分技術(shù)的理論基礎(chǔ)已日趨成熟。有限元網(wǎng)格劃分的研究領(lǐng)域已由二維平面問(wèn)題轉(zhuǎn)移到三維實(shí)體，研究重點(diǎn)已經(jīng)由三角形（四面體）網(wǎng)格轉(zhuǎn)變?yōu)樗倪呅危骟w）網(wǎng)格，注重網(wǎng)格的全自動(dòng)生成、網(wǎng)格自適應(yīng)等研究。
1. 六面體網(wǎng)格劃分
當(dāng)前，六面體單元網(wǎng)格生成算法主要有映射單元法、單元轉(zhuǎn)換法、基于柵格法、多子區(qū)域法、掃描法和投影法等。
2. 曲面網(wǎng)格劃分
工程結(jié)構(gòu)中常用的薄殼結(jié)構(gòu)都是由自由曲面組合而成的。三維曲面是三維實(shí)體的退化，是一種特殊形式，三維曲面的有限元網(wǎng)格劃分的應(yīng)用范圍很廣。目前的曲面網(wǎng)格生成方法可粗略地分為直接法和映射法兩種。
展 望
目前有限元網(wǎng)格生成技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟，可以實(shí)現(xiàn)三維領(lǐng)域的網(wǎng)格劃分全自動(dòng)，但在網(wǎng)格劃分方面依然有很大的研究空間。有限元網(wǎng)格劃分還有許多難題沒(méi)有得到徹底解決，網(wǎng)格劃分的效率、單元質(zhì)量等，還有待進(jìn)一步提高。
